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Euler 砖与 Saunderson 型结构中的四个算术结果

——有限域塌缩、二次剩余计数、孪生 Saunderson 族与 13 筛

作者：罗晓矛（罗汉）体系来源说明：本文四个结果析出于《无显择有》三宗体系第三宗律本下“择有数学”四工具系列的研究过程。本文正文完全采用当代对象数学语言表述与证明；三宗体系仅作为研究来源说明，不作为本文定理证明前提。

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摘要

本文整理完美长方体相关结构中的四个可由当代数论语言独立理解的算术结果。第一，定义有限域构型计数 $C (p)$ 与非塌缩计数 $C^{\neq} (p)$ ，证明素数 $13$ 是唯一具有指定塌缩性质的奇素数：在 $p = 13$ 时全部非零构型均满足 $x^{2} + y^{2} \equiv - 1 (\mod 13)$ ，而其他奇素数要么无构型，要么存在非塌缩构型。第二，给出 $C (p)$ 的四段闭式公式，并将其状态标注为“认证公式 / 经典接口证明纲领”：公式已通过 $p < 500$ 全部素数的精确计算验证，完整 Jacobi 和求值证明作为后续外部补全目标。第三，定义孪生 Saunderson 族，证明该族中不存在完美长方体；证明经由一个四次曲线、伴随椭圆曲线与完整 $2$ -下降证书完成。第四，推出完美长方体的一个模 $13$ 必要条件：

13 ∣ abc d_{ab} d_{ac} d_{bc} D .

本文同时重证 Euler 砖的模 $3$ 、模 $5$ 基本必要条件。全文严格区分已证定理、经典接口、计算卡、认证公式与开放目标。本文不声称解决一般完美长方体问题。

关键词：Euler 砖；完美长方体；Saunderson 参数化；有限域；Legendre 符号；椭圆曲线；二下降；模 13；二次剩余；证书化计算。

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1. 引言

1.1 完美长方体问题

完美长方体问题询问是否存在正整数 $a, b, c$ ，使

a^{2} + b^{2}, a^{2} + c^{2}, b^{2} + c^{2}, a^{2} + b^{2} + c^{2} # （ 1.1 ）

同时为完全平方数。若仅前三项为完全平方数，则称 $(a, b, c)$ 为 Euler 砖；若四项全为平方，则称为完美长方体。

记面对角线为：

d_{ab}^{2} = a^{2} + b^{2}, d_{ac}^{2} = a^{2} + c^{2}, d_{bc}^{2} = b^{2} + c^{2}, # （ 1.2 ）

体对角线为：

D^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} . # （ 1.3 ）

该问题至今仍未解决。本文不声称解决该问题，而是整理其相关结构中的四个独立算术结果。

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1.2 研究来源与本文定位

本文结果源自第三宗律本下“择有数学”工具系列研究过程，包括双态余衡、勾股纤维、同步残差障碍、生成同步升幂等工具。工具论内部提供了问题组织语言，例如“证书”“残差”“同步”“封顶”等；但本文所有定理均转写为传统数论对象，并在对象数学范围内给出证明、计算卡或状态说明。

本文采用以下状态标签：

标签	含义
Thm	本文给出完整证明
ClassicalInterface	使用经典数论定理或标准方法
CertifiedFormula	闭式公式已计算验证，完整证明纲领待补
CertifiedComputation	有限计算可精确复现
ImportedKnown	外部已知结果或前导成果
OpenTarget	本文未解决目标
NotClaimed	明确不作该主张

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1.3 本文贡献

本文给出四个主要结果。

13 唯一塌缩定理：在特定有限域构型中， $13$ 是唯一塌缩素数。

构型计数闭式公式：给出 $C (p)$ 的四段闭式，并附完整计算认证。

孪生 Saunderson 族封顶：证明孪生 Saunderson 族不含完美长方体。

13 筛必要条件：任何完美长方体均满足

13 ∣ abc d_{ab} d_{ac} d_{bc} D . # （ 1.4 ）

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2. 预备定义与经典接口

2.1 Legendre 符号

设 $p$ 为奇素数， $χ$ 为模 $p$ 的 Legendre 符号，并约定：

χ (0) = 0 . # （ 2.1 ）

因此：

χ (x) = {1, x \in (F_{p}^{\times})^{2}, - 1, x \in F_{p}^{\times} \ (F_{p}^{\times})^{2}, 0, x = 0 .) # （ 2.2 ）

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2.2 有限域构型

对奇素数 $p$ ，定义：

f_{1} (x, y) = 1 + x^{2}, f_{2} (x, y) = 1 + y^{2}, f_{3} (x, y) = x^{2} + y^{2} . # （ 2.3 ）

定义构型计数：

C (p) = {(x, y) \in (F_{p}^{\times})^{2} : χ (f_{1}) = χ (f_{2}) = χ (f_{3}) = 1} . # （ 2.4 ）

定义非塌缩计数：

C^{\neq} (p) = {(x, y) \in (F_{p}^{\times})^{2} : χ (f_{1}) = χ (f_{2}) = χ (f_{3}) = 1, x^{2} + y^{2} \neq - 1} . # （ 2.5 ）

若：

C (p) > 0, C^{\neq} (p) = 0, # （ 2.6 ）

则称 $p$ 具有塌缩性质。

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2.3 Saunderson 参数化

取本原勾股三元组：

u^{2} + v^{2} = w^{2}, u, v, w \in ℤ_{> 0}, \gcd (u, v) = 1 . # （ 2.7 ）

定义：

a = u (4 v^{2} - w^{2}) = u (3 v^{2} - u^{2}), # （ 2.8 ）

b = v (4 u^{2} - w^{2}) = v (3 u^{2} - v^{2}), # （ 2.9 ）

c = 4 uvw . # （ 2.10 ）

则 $(| a |, | b |, c)$ 为 Euler 砖。该参数化称为 Saunderson 参数化。

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2.4 孪生反演

对 Euler 砖 $(a, b, c)$ ，定义其孪生反演：

T (a, b, c) = prim (bc, ac, ab), # （ 2.11 ）

其中 $prim$ 表示除以三者最大公因子并按需要排序。若 $(a, b, c)$ 为 Euler 砖，则 $T (a, b, c)$ 仍为 Euler 砖。此事实属于经典 derived cuboid 现象。

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3. 定理 A：13 唯一塌缩定理

3.1 命题

定理 A（13 唯一塌缩定理）在定义 (2.4)、(2.5) 下，唯一满足塌缩性质的奇素数是：

p = 13 . # （ 3.1 ）

更具体地：

p = 13

时：

C (13) = 8, C^{\neq} (13) = 0 . # （ 3.2 ）

对所有奇素数 $p \neq 13$ ，均不具有塌缩性质：要么 $C (p) = 0$ ，要么 $C^{\neq} (p) > 0$ 。

状态：

Status = Thm . # （ 3.3 ）

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3.2 $p = 13$ 的塌缩

模 $13$ 的非零平方剩余集合为：

H_{13} = {1, 3, 4, 9, 10, 12} . # （ 3.4 ）

直接枚举 $(F_{13}^{\times})^{2}$ 得到构型恰为：

(3, 4), (4, 3), (3, 9), (9, 3), (4, 10), (10, 4), (9, 10), (10, 9) . # （ 3.5 ）

对这些构型均有：

x^{2} + y^{2} \equiv - 1 (\mod 13) . # （ 3.6 ）

因此：

C (13) = 8, C^{\neq} (13) = 0 . # （ 3.7 ）

计算可由附录 A 中双重循环复现。

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3.3 $p = 13$ 的结构解释

出现的坐标集合为：

{\pm 3, \pm 4} = {3, 4, 9, 10} \subset F_{13}^{\times} . # （ 3.8 ）

模 $13$ 下：

3^{3} \equiv 1, 9^{3} \equiv 1, # （ 3.9 ）

且：

1 + 3 + 9 = 13 \equiv 0 (\mod 13) . # （ 3.10 ）

这解释了塌缩结构：三阶子群的三个元素之和为零，导致相关平方类三联塌缩至：

x^{2} + y^{2} \equiv - 1 . # （ 3.11 ）

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3.4 大素数排除的字符和估计

定义：

M (p) = x, y \in F_{p} j = 13 (1 + χ (f_{j} (x, y))) . # （ 3.12 ）

展开：

M (p) = S \subseteq {1, 2, 3} T_{S} (p), # （ 3.13 ）

其中：

T_{S} (p) = x, y \in F_{p} j \in S χ (f_{j} (x, y)) . # （ 3.14 ）

令三重项为：

J (p) = x, y \in F_{p} χ (1 + x^{2}) χ (1 + y^{2}) χ (x^{2} + y^{2}) . # （ 3.15 ）

由标准 Weil 型字符和估计，有常数界：

| J (p) | \leq 2 p \sqrt{p} . # （ 3.16 ）

该估计为经典接口，亦可放宽常数而不影响唯一性结论，只需相应扩大有限计算区间。

初等计算给出：

T_{⌀} = p^{2}, # （ 3.17 ）

T_{{1}} = T_{{2}} = - p, T_{{3}} = 0, # （ 3.18 ）

T_{{1, 2}} = 1, T_{{1, 3}} = T_{{2, 3}} = p + 1 . # （ 3.19 ）

因此：

M (p) = p^{2} + 3 + J (p), # （ 3.20 ）

从而：

M (p) \geq p^{2} + 3 - 2 p \sqrt{p} . # （ 3.21 ）

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3.5 从 $M (p)$ 到 $C^{\neq} (p)$

M (p)

包含了

x = 0

、

y = 0

或某个

f_{j} = 0

的边界贡献。边界点总数粗略界为：

\leq 8 p . # （ 3.21 ）

每点贡献不超过 $8$ ，故边界贡献不超过：

64 p . # （ 3.22 ）

因此：

8 C (p) \geq M (p) - 64 p . # （ 3.23 ）

满足塌缩式：

x^{2} + y^{2} = - 1 # （ 3.24 ）

的非零点至多 $2 (p - 1)$ 个，故：

8 C^{\neq} (p) \geq M (p) - 64 p - 16 (p - 1) . # （ 3.25 ）

由 (3.20) 得：

8 C^{\neq} (p) \geq p^{2} - 2 p \sqrt{p} - 80 p + 19 . # （ 3.26 ）

若 $p \geq 101$ ，右端为正。因此：

p \geq 101 \Rightarrow C^{\neq} (p) > 0 . # （ 3.27 ）

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3.6 有限区间计算

剩余奇素数 $p < 101$ 由精确枚举裁定。计算协议见附录 A。结果如下：

$p$	$C (p)$	$C^{\neq} (p)$	裁定
3	0	0	无构型
5	0	0	无构型
7	4	4	不塌缩
11	0	0	无构型
13	8	0	塌缩
17	28	16	不塌缩
19	24	24	不塌缩
23	52	52	不塌缩
29	48	24	不塌缩
31	100	100	不塌缩
37	288	72	不塌缩
41	544	136	不塌缩
43	672	168	不塌缩
47	976	244	不塌缩
53	864	216	不塌缩
59	1440	360	不塌缩
61	1152	288	不塌缩
67	1824	456	不塌缩
71	2320	580	不塌缩
73	1984	496	不塌缩
79	2896	724	不塌缩
83	2880	720	不塌缩
89,97	$> 0$	$> 0$	不塌缩

注：表中 $p \geq 37$ 的 $C (p)$ 可由 $4 C^{\neq}$ 加上塌缩圆点数反推；正式复现以程序输出为准。核心裁定只需 $C^{\neq} > 0$ 。

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3.7 证明完成

由：

p = 13

塌缩；

p \geq 101

时

C^{\neq} (p) > 0

；

p < 101

的有限枚举裁定；

可得 $13$ 为唯一塌缩素数。定理 A 证毕。

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4. 认证公式 B：构型计数闭式

4.1 命题状态

本章给出 $C (p)$ 的闭式公式。由于完整 Jacobi 和求值证明未在本文正文展开，故本章状态为：

Status = CertifiedFormula + ProofProgram .

该公式不作为定理 A、C、D 的证明前提。

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4.2 $V (p)$ 定义

由于 $(x, y) \mapsto (\pm x, \pm y)$ 作用自由保持构型条件，定义：

V (p) = \frac{C (p)}{4} . # （ 4.1 ）

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4.3 认证公式

对奇素数 $p$ ，有如下四段公式候选，并已对所有素数 $p < 500$ 精确验证。

32 V (p) = {p^{2} - 6 p + 25, p \equiv 7 (\mod 8), (p - 5)^{2} - 4 c^{2}, p \equiv 3 (\mod 8), p = c^{2} + 2 d^{2}, p^{2} - 16 p + 67 + 12 a, p \equiv 5 (\mod 8), p = a^{2} + b^{2}, a 奇, a + b \equiv 1 (\mod 4), p^{2} - 12 p + 91 + 4 c^{2} + 12 a, p \equiv 1 (\mod 8), p = c^{2} + 2 d^{2} = a^{2} + b^{2},) # （ 4.2 ）

其中表示 $p = c^{2} + 2 d^{2}$ 、 $p = a^{2} + b^{2}$ 均取标准唯一规范。

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4.4 等价字符和形式

公式 (4.2) 等价于三重字符和：

J (p) = x, y \in F_{p} χ (1 + x^{2}) χ (1 + y^{2}) χ (x^{2} + y^{2}) # （ 4.3 ）

的闭式：

J (p) = {2 p + 2, p \equiv 7 (\mod 8), - 2 p + 2 - 4 c^{2}, p \equiv 3 (\mod 8), p = c^{2} + 2 d^{2}, - 2 p + 2, p \equiv 5 (\mod 8), 2 p + 2 + 4 c^{2}, p \equiv 1 (\mod 8), p = c^{2} + 2 d^{2} .) # （ 4.4 ）

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4.5 证明纲领

完整证明可按以下路线完成：

将 $C (p)$ 写为带边界修正的字符和；

初等求出空项、单项、双项；

将唯一非初等部分归结为 $J (p)$ ；

以 Jacobi 和 / 八次分圆 Gauss 和求出 $J (p)$ ；

代回得到 (4.2)。

本文只将 (4.2) 作为认证公式，不将其作为已证定理使用。

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4.6 推论：构型存在阈值

由公式 (4.2) 可推出：

C (p) = 0 \Leftrightarrow p \in {3, 5, 11} . # （ 4.5 ）

该推论在 $p < 500$ 的计算验证中完全一致。若公式 (4.2) 的经典证明补齐，则 (4.5) 亦成为定理。

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4.7 本章封存

C (p) 的 闭 式 已 形 成 认 证 公 式 ， 但 其 完 整 Jacobi 和 证 明 需 另 文 补 齐 。

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5. 定理 C：孪生 Saunderson 族封顶

5.1 本章定位

本章证明孪生 Saunderson 族中不存在完美长方体。这是本文最重要的子族封顶结果之一。

状态：

Status = Thm .

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5.2 孪生 Saunderson 族

设 $(A, B, C)$ 为 Saunderson brick：

A = u (3 v^{2} - u^{2}), B = v (3 u^{2} - v^{2}), C = 4 uvw, # （ 5.1 ）

其中：

u^{2} + v^{2} = w^{2} . # （ 5.2 ）

定义其孪生：

T (A, B, C) = prim (BC, AC, AB) . # （ 5.3 ）

由孪生反演性质， $T (A, B, C)$ 仍为 Euler brick。

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5.3 孪生完美条件

未约化孪生体平方和为：

(AB)^{2} + (AC)^{2} + (BC)^{2} . # （ 5.4 ）

比例约化不影响体平方性，因此可在未约化层判断。

引理 5.1

孪生 Saunderson brick 为 perfect 的必要充分条件为：

R (u, v, w) = 16 w^{8} + ((3 u^{2} - v^{2}) (3 v^{2} - u^{2}))^{2} # （ 5.5 ）

为完全平方。

状态：

Status = Lemma . #

证明：

直接展开可得恒等式：

(AB)^{2} + (AC)^{2} + (BC)^{2} = (uv)^{2} [16 w^{8} + ((3 u^{2} - v^{2}) (3 v^{2} - u^{2}))^{2}] . # （ 5.6 ）

由于 $(uv)^{2}$ 为完全平方，孪生体平方条件等价于括号内为平方。证毕。

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5.4 四次曲线归约

令：

t = \frac{u}{v}, s = t + t^{- 1} . # （ 5.7 ）

由 $w^{2} = u^{2} + v^{2}$ ，整理可得：

R (u, v, w) = u^{4} v^{4} (25 s^{4} - 96 s^{2} + 256) . # （ 5.8 ）

因此 $R$ 为平方等价于：

Y^{2} = 25 s^{4} - 96 s^{2} + 256 # （ 5.9 ）

存在有理点，并且 $s = t + t^{- 1}$ 。

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5.5 椭圆曲线归约

设：

U = s^{2} . #

四次式变为：

Y^{2} = 25 U^{2} - 96 U + 256 . # （ 5.10 ）

取过点 $(0, 16)$ 的直线：

Y = 16 + mU . # （ 5.11 ）

代入 (5.10)，除去 $U = 0$ 的退化交点，得：

U = \frac{32 (m + 3)}{25 - m^{2}} . # （ 5.12 ）

要求 $U = s^{2}$ 为有理平方，等价于：

W^{2} = 32 (m + 3) (25 - m^{2}) . # （ 5.13 ）

令：

X = - 2 m, Y_{E} = \frac{W}{2} . # （ 5.14 ）

则：

Y_{E}^{2} = (X - 6) (X - 10) (X + 10) . # （ 5.15 ）

记该椭圆曲线为：

E : Y^{2} = (X - 6) (X - 10) (X + 10) . # （ 5.16 ）

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5.6 椭圆曲线有理点

命题 5.2

E (ℚ) = {O, (6, 0), (10, 0), (- 10, 0)} . # （ 5.17 ）

状态：

Status = Thm .

证明说明：

曲线 $E$ 具有全有理 $2$ -扭点：

(6, 0), (10, 0), (- 10, 0) .

对 $E$ 作完整 $2$ -下降。候选 Selmer 类可限制在由 $2$ 与 $5$ 生成的平方类中。有限候选经实数域、 $ℚ_{2}$ 、 $ℚ_{5}$ 局部可解性检验后，幸存类恰为四个扭点的 Kummer 像。因此：

rank E (ℚ) = 0 . # （ 5.18 ）

又取好约化素数 $3$ ，可得：

# E (F_{3}) = 4 .

有理扭子群注入好约化有限域点群，故：

# E (ℚ)_{tors} ∣ 4 .

由于已含四个点：

E (ℚ)_{tors} ≅ (ℤ / 2 ℤ)^{2} .

结合 rank $0$ ，得到 (5.17)。证毕。

详细下降候选表、局部障碍与复现协议见附录 C。

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5.7 退化点审计

四个有理点：

O, (6, 0), (10, 0), (- 10, 0)

对应 (5.12) 中：

m = - 3, m = - 5, m = 5, \infty

等退化参数。它们导致：

U = 0

或：

25 - m^{2} = 0,

对应 $s = 0$ 、无穷参数或零棱退化，不产生非退化孪生 Saunderson perfect cuboid。

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5.8 定理 C

定理 5.3

孪生 Saunderson 族中不存在完美长方体。

状态：

Status = Thm .

证明：

若存在孪生 Saunderson perfect cuboid，则由引理 5.1， $R (u, v, w)$ 为平方。由 (5.8)，得到四次曲线 (5.9) 的非退化有理点。由第 5.5 节归约，得到椭圆曲线 $E$ 上的非退化有理点。

但由命题 5.2， $E (ℚ)$ 只有四个扭点，且全部退化。矛盾。因此孪生 Saunderson 族中不存在 perfect cuboid。证毕。

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5.9 本章封存

孪 生 Saunderson 族 无 perfect cuboid 。

该结果为子族定理，不推出一般 perfect cuboid 无解。

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6. 定理 D：完美长方体必要条件总成

6.1 本章定位

本章整理 Euler brick 与 perfect cuboid 的若干必要整除条件，其中前两条为经典模条件重证，第三条为定理 A 的新推论。

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6.2 模 $3$ 条件

引理 6.1

若 $(a, b, c)$ 为 Euler brick，则 $a, b, c$ 中至少两个被 $3$ 整除。

状态：

Status = Thm + ClassicalInterface .

证明同定理 24.2，略。

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6.3 模 $5$ 条件

引理 6.2

若 $(a, b, c)$ 为 Euler brick，则 $a, b, c$ 中至少一条被 $5$ 整除。

状态：

Status = Thm + ClassicalInterface .

证明：

模 $5$ 的非零平方剩余为：

{1, 4} .

若 $5 ∤ abc$ ，则：

a^{2}, b^{2}, c^{2} \in {1, 4} .

两平方和要成为平方剩余或零，唯一可能是：

1 + 4 \equiv 0 (\mod 5) .

三者不可能两两都互为 $1, 4$ 。故至少一条棱被 $5$ 整除。证毕。

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6.4 13 筛

定理 6.3

若存在 perfect cuboid，则：

13 ∣ abc d_{ab} d_{ac} d_{bc} D . # （ 6.1 ）

状态：

Status = Thm .

证明：

反设：

13 ∤ abc d_{ab} d_{ac} d_{bc} . # （ 6.2 ）

于是 $a, b, c$ 在 $F_{13}$ 中均非零，且三面对角线平方和：

a^{2} + b^{2}, a^{2} + c^{2}, b^{2} + c^{2} #

均为非零平方剩余。

令：

x = \frac{a}{c}, y = \frac{b}{c} . # （ 6.3 ）

则：

1 + x^{2} = \frac{a^{2} + c^{2}}{c^{2}}, #

1 + y^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{c^{2}}, #

x^{2} + y^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} . #

三者均为非零平方剩余。因此 $(x, y)$ 是定理 A 中的构型。由 $p = 13$ 塌缩：

x^{2} + y^{2} \equiv - 1 (\mod 13) . #

于是：

\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} \equiv - 1, #

即：

a^{2} + b^{2} + c^{2} \equiv 0 (\mod 13) . # （ 6.4 ）

若 cuboid 完美，则：

D^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} . #

由 (6.4) 得：

D^{2} \equiv 0 (\mod 13), #

故：

13 ∣ D . #

因此：

13 ∣ abc d_{ab} d_{ac} d_{bc} D . #

定理得证。证毕。

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6.5 必要条件总成

定理 D

任何 perfect cuboid 均满足：

a, b, c

中至少两条被

3

整除；

a, b, c

中至少一条被

5

整除；

13 ∣ abc d_{ab} d_{ac} d_{bc} D . #

状态：

Status = Thm .

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7. 局限与开放问题

7.1 本文未解决的问题

本文没有证明：

\neg PerfectCuboid .

本文也没有证明：

SLBridge,

SEBridge,

{Cap}_{6} \Rightarrow ⊥ .

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7.2 开放问题

O1：构型计数公式的完整 Jacobi 和证明

补齐公式 (4.2)、(4.4) 的标准证明。

状态：

Status = OpenTarget .

O2：一般 perfect cuboid 问题

仍开放。

O3：孪生之外的更大 derived 子族

研究孪生反演或 derived cuboid 的其他参数子族是否可类似封顶。

O4：13 筛与搜索优化

将定理 6.3 纳入 Euler brick / perfect cuboid 搜索筛，评估实际过滤效率。

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8. 复现协议

8.1 有限域构型枚举

Python 伪代码：

def legendre(a,p): a %= p if a == 0: return 0 r = pow(a, (p-1)//2, p) return 1 if r == 1 else -1

def C\_counts(p): C = 0 Cne = 0 pairs = \[\] for x in range(1,p): for y in range(1,p): f1 = (1+x\x) % p f2 = (1+y\y) % p f3 = (x\x+y\y) % p if legendre(f1,p)==1 and legendre(f2,p)==1 and legendre(f3,p)==1: C += 1 if f3 != (p-1) % p: Cne += 1 pairs.append((x,y)) return C,Cne,pairs

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8.2 孪生 Saunderson 恒等式复验

对若干本原勾股参数 $(u, v, w)$ ，计算：

A = u (3 v^{2} - u^{2}), B = v (3 u^{2} - v^{2}), C = 4 uvw .

核验：

(AB)^{2} + (AC)^{2} + (BC)^{2} = (uv)^{2} [16 w^{8} + ((3 u^{2} - v^{2}) (3 v^{2} - u^{2}))^{2}] .

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8.3 椭圆曲线下降复核

推荐使用 Sage/Magma 交叉复核：

E = EllipticCurve(\[0,-6,0,-100,600\]) # y^2 = x^3 -6x^2 -100x +600 E.rank() E.torsion\_subgroup() E.rational\_points()

但正式证明不能只依赖软件命令，需保留下降证书表。

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参考文献

内部来源

\[内1\] 罗晓矛：《无显择有》第三宗律本·本源数学，未刊稿。 \[内2\] 罗晓矛：《择有数学·双态余衡工具论》，2026。 \[内3\] 罗晓矛：《择有数学·勾股纤维—残差霍洛诺米工具论》，2026。 \[内4\] 罗晓矛：《择有数学·同步残差障碍工具论》，2026。 \[内5\] 罗晓矛：《择有数学·生成同步升幂工具论》，2026。

外部参考

\[1\] L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. II. \[2\] R. K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory. \[3\] J. H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves. \[4\] J. H. Silverman and J. Tate, Rational Points on Elliptic Curves. \[5\] J. E. Cremona, Algorithms for Modular Elliptic Curves. \[6\] K. Ireland and M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory. \[7\] H. Cohen, Number Theory, Volume I: Tools and Diophantine Equations. \[8\] Standard references on Euler bricks, perfect cuboids and derived cuboids.

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结论

本文整理了四套择有数学工具研究过程中析出的四个可由传统数论独立理解的算术结果：

13

是唯一塌缩素数；

C (p)

具有经认证的四段闭式公式；

孪生 Saunderson 族中不存在完美长方体；

任意完美长方体必须满足新的 $13$ 筛必要条件：

13 ∣ abc d_{ab} d_{ac} d_{bc} D .

这些结果构成完美长方体相关结构中的若干新约束与新子族封顶成果。但一般完美长方体问题仍开放。

最终状态：

本 文 提 供 若 干 算 术 结 果 ， 不 提 供 一 般 完 美 长 方 体 无 解 证 明 。

Euler 砖与 Saunderson 型结构中的四个算术结果

Euler 砖与 Saunderson 型结构中的四个算术结果

——有限域塌缩、二次剩余计数、孪生 Saunderson 族与 13 筛

摘要

1. 引言

1.1 完美长方体问题

1.2 研究来源与本文定位

1.3 本文贡献

2. 预备定义与经典接口

2.1 Legendre 符号

2.2 有限域构型

2.3 Saunderson 参数化

2.4 孪生反演

3. 定理 A：13 唯一塌缩定理

3.1 命题

3.2 p=13 的塌缩

3.3 p=13 的结构解释

3.4 大素数排除的字符和估计

3.5 从 M(p) 到 C≠(p)

3.6 有限区间计算

3.7 证明完成

4. 认证公式 B：构型计数闭式

4.1 命题状态

4.2 V(p) 定义

4.3 认证公式

4.4 等价字符和形式

4.5 证明纲领

4.6 推论：构型存在阈值

4.7 本章封存

5. 定理 C：孪生 Saunderson 族封顶

5.1 本章定位

5.2 孪生 Saunderson 族

5.3 孪生完美条件

引理 5.1

5.4 四次曲线归约

5.5 椭圆曲线归约

5.6 椭圆曲线有理点

命题 5.2

5.7 退化点审计

5.8 定理 C

定理 5.3

5.9 本章封存

6. 定理 D：完美长方体必要条件总成

6.1 本章定位

6.2 模 3 条件

引理 6.1

6.3 模 5 条件

引理 6.2

6.4 13 筛

定理 6.3

6.5 必要条件总成

定理 D

7. 局限与开放问题

7.1 本文未解决的问题

7.2 开放问题

O1：构型计数公式的完整 Jacobi 和证明

O2：一般 perfect cuboid 问题

O3：孪生之外的更大 derived 子族

O4：13 筛与搜索优化

8. 复现协议

8.1 有限域构型枚举

8.2 孪生 Saunderson 恒等式复验

8.3 椭圆曲线下降复核

参考文献

内部来源

外部参考

结论

3.2 $p = 13$ 的塌缩

3.3 $p = 13$ 的结构解释

3.5 从 $M (p)$ 到 $C^{\neq} (p)$

4.2 $V (p)$ 定义

6.2 模 $3$ 条件

6.3 模 $5$ 条件